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【勝てる学習術】数学Ⅰで頻出の「二次関数」の攻略法

東京大学|R.S

数学Ⅰの中ではおそらく入試で最も頻出分野である「二次関数」。その分野単独での出題はもちろん、三角関数や対数など他の分野との複合問題も非常に多いです。後者の場合、二次関数自体が理解できていないと到底太刀打ちすることができません。そこで、今回は二次関数について、どのようなポイントを意識して勉強していけばいいのかを大まかに書いていこうと思います。

二次関数の勉強の3つステップ

二次関数を勉強する上で、どのような事ができればいいのか、順番を踏まえて説明して行きます。大きく分けて下記の3ステップを、まずは意識してみましょう。

1つ目は、「二次関数の式とグラフを繋げてイメージできるようにする」こと。二次関数だけではなく、高校数学においては数式が実際にどのような形のグラフを表しているのか、式変形がどのようなグラフの形・位置の変化を表しているのかなど、実際に視覚的にイメージして問題を把握する事が重要です。

図形問題の場合も、自分でいろいろ書き込んで・消してというのを繰り返すうちに、上手く補助線が引けたという経験があるのではないでしょうか。二次関数の場合も同じで、どの問題を解くに当たってもグラフをイメージする事で今自分は何をしているのかを把握しやすくなります。グラフを書くため、平方完成や上に凸、下に凸の把握などをまず勉強しましょう。

2つ目は、「場合分けを正確にできるようにする」こと。最大値や最小値を求める問題で特に重要です。これについては下で詳しく書いていきます。

3つ目は、「変数と定数を意識する」こと。1変数関数は解けるけど2変数関数になると突然問題が解けなくなる……、というのはよくあると思います。問題を難しくする方法の1つとして変化する文字を増やす事が挙げられ、いくつか変数がある問題はよく出題されるので、他の人と差をつけられるようにしましょう。

多変数の問題では、まず1つだけに着目して考えてみて、その後に他の変数も動かしてみるという解き方を意識しましょう。

「場合分け」の解き方は3つのプロセスで考えよう

2つ目の「場合分けを正確にできるようにする」ことについて、その方法を少し詳しく書いておきたいと思います。最も標準的な問題として、ある二次関数にとある範囲が与えられていて、その時々の最大値・最小値を求めるものを考えます。

この場合、順に1つずつ解いていきます。まず初めは、グラフと範囲がどのような位置関係にあるのかを把握します。その位置関係が変動するのか、それとも固定されているのかによって難易度が変わってきます。固定されている場合はここで、位置関係を書いて、実際に最大値・最小値を把握したら終わりです。

位置関係が変動する場合は次に、最大値・最小値それぞれについて、グラフと範囲の位置関係によってどこで最大値・最小値を取るのかを考えます。

最後は、その2つを合わせて考えます。二次関数のグラフや範囲の位置が変わった事で、どのタイミングで最大値・最小値が変化するのかをまとめます。

場合分けについては、この3つのプロセスで大体の標準的な問題は処理できると思います。

東京大学|R.S

東京大学経済学部に2021年4月から復学しました。中学からの苦手科目を高校で得意科目に変えた経験や、公立中高から東大に現役で合格した経験をベースに、皆さんにとって有益な情報をお届けします。

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